Bằng cách vận dụng các công cụ toán học như bổ đề KKM-Fan kết hợp với các tính chất của ánh xạ đa trị, nghiên cứu thiết lập các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vector. Đồng thời, công trình cũng khảo sát tính nửa liên tục trên của tập nghiệm, một tính chất quan trọng phản ánh sự ổn định của nghiệm khi có sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu đầu vào.

Cụ thể, tác giả xây dựng khung lý thuyết dựa trên các giả thiết về tính lồi, tính nửa liên tục và cấu trúc của nón thứ tự, từ đó chứng minh rằng dưới các điều kiện thích hợp, tập nghiệm không những tồn tại mà còn có tính chất nửa liên tục trên theo tham số. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc đảm bảo tính bền vững của mô hình toán học khi áp dụng vào các bài toán thực tiễn, đặc biệt trong kinh tế học, tối ưu hóa đa mục tiêu và lý thuyết trò chơi.

Ngoài ra, nghiên cứu cũng chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng liên tục khác nhau của ánh xạ nghiệm như liên tục theo nghĩa Hausdorff, liên tục Hölder và Lipschitz, qua đó làm rõ hơn cấu trúc tôpô của tập nghiệm. Những kết quả này góp phần mở rộng các công trình trước đó trong lĩnh vực cân bằng vector, đồng thời cung cấp cơ sở lý thuyết cho các nghiên cứu tiếp theo về các bài toán cân bằng trong không gian tổng quát hơn. Tổng thể, công trình mang lại đóng góp đáng kể trong việc hoàn thiện lý thuyết về sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm trong các mô hình toán học phức tạp.